《第 231 章 不动点法：探寻数列的奥秘》</p>
在同学们对循序渐进的智慧有了深刻理解之后，戴浩文先生决定给大家带来新的知识——不动点法求数列通项公式。</p>
上课铃声响起，同学们都满怀期待地看着戴浩文先生。</p>
戴浩文先生微笑着走上讲台，说道：“同学们，今天我们要一起探索一个神奇的数学方法——不动点法，来求解数列的通项公式。”</p>
听到这个新的名词，同学们眼中充满了好奇。</p>
戴浩文先生在黑板上写下了一个数列的递推公式： ，然后问道：“大家看看，对于这样的数列递推公式，我们怎么去找到它的通项公式呢？”</p>
同学们纷纷皱起眉头，开始思考。</p>
一位同学举手说道：“先生，感觉这个好复杂，不知道从哪里入手。”</p>
戴浩文先生笑着说：“别着急，这就是我们今天要学习的不动点法的用武之地啦。首先，我们来理解一下什么是不动点。假设函数 ，如果存在一个实数 ，使得 ，那么 就是函数 的不动点。”</p>
同学们似懂非懂地点点头。</p>
戴浩文先生继续说道：“对于我们这个数列递推公式，我们把它看成一个函数 ，然后求解方程 。”</p>
说着，戴浩文先生在黑板上开始解方程：</p>
解完方程，戴浩文先生说道：“所以， 就是这个函数的不动点。”</p>
又有同学问道：“先生，求出不动点之后呢？”</p>
戴浩文先生说：“接下来就神奇啦。我们令 。”</p>
同学们开始动笔跟着算。</p>
戴浩文先生接着说：“然后我们把 代入 的表达式中，经过一番化简，会得到一个很有趣的结果，大家试试看。”</p>
同学们纷纷埋头计算，不一会儿，一位同学兴奋地说：“先生，我算出来了，得到了一个关于 的简单递推式！”</p>
戴浩文先生赞许地点点头，说道：“非常好！通过这个简单的递推式，我们是不是就可以更容易地求出 的通项公式啦？”</p>
同学们恍然大悟，纷纷点头。</p>
戴浩文先生又问道：“那求出 的通项公式之后，怎么得到 的通项公式呢？”</p>
同学们又陷入了思考，开始互相讨论。</p>
过了一会儿，一位同学站起来说：“先生，是不是可以把 的通项公式反解出 ？”</p>
戴浩文先生笑着说：“没错！你很棒！”</p>
然后戴浩文先生在黑板上完整地演示了一遍求解过程。</p>
讲完之后，戴浩文先生说：“大家都明白了吗？我们来做一道练习题试试。”</p>
戴浩文先生在黑板上写下了另一个数列递推公式：</p>
同学们马上开始动手计算。</p>
戴浩文先生在教室里走动，观察同学们的计算过程，不时给予指导和提示。</p>
一位同学算完后，不太确定地说：“先生，我算出来的不动点是 1，对吗？”</p>
戴浩文先生看了看他的计算过程，说道：“非常正确，那接着往下算吧。”</p>
同学们陆续算出了结果，戴浩文先生让一位同学上台展示他的解法。</p>
同学讲完后，戴浩文先生说：“大家做得都很不错。那我们再深入思考一下，如果不动点不止一个，又该怎么办呢？”</p>
同学们又开始热烈地讨论起来。</p>
讨论结束后，戴浩文先生总结道：“如果不动点不止一个，我们可以分别构造不同的式子，然后再进行求解。”</p>
