文曲在古

第200章 导数的应用实例200

第 200 章 导数的应用实例</p>

经过前面对于导数知识的系统学习,学子们已经掌握了常见函数的导数计算方法。这一天,戴浩文决定通过具体的应用题,让学子们更加深入地理解导数的实际应用。</p>

戴浩文站在讲堂上,目光中充满期待地看着学子们,说道:“同学们,咱们已经学习了不少导数的知识,今天咱们就来看看这些知识在实际问题中的神奇作用。”</p>

他转身在黑板上写下一道题目:“假设有一物体沿着直线运动,其位移与时间的关系为 s = t3 - 6t2 + 9t + 5,求在 t = 2 时的瞬时速度。”</p>

写完题目,戴浩文问道:“谁能来说说这道题该怎么入手?”</p>

一位学子站起来回答:“先生,我们需要先求出位移函数的导数,导数就是速度函数。”</p>

戴浩文满意地点点头:“不错,那咱们一起来求一下。”</p>

经过一番计算,得出速度函数 v = 3t2 - 12t + 9 。</p>

戴浩文接着问:“那 t = 2 时的速度是多少呢?”</p>

学子们纷纷动笔计算,不一会儿,就有声音回答:“是 -3 。”</p>

戴浩文笑着说:“很好,那咱们再来看下一道题。”</p>

他又在黑板上写下:“一个工厂生产某种产品,其成本函数为 c = 2x2 + 5x + 100,产量为 x 件。当产量为 10 件时,求边际成本。”</p>

看到学子们面露难色,戴浩文提示道:“大家想想,边际成本是什么和导数的关系?”</p>

一位学子恍然大悟:“先生,边际成本就是成本函数的导数!”</p>

戴浩文赞许地说:“对!那咱们来求一下导数。”</p>

经过计算,成本函数的导数为 c' = 4x + 5 。</p>

戴浩文问道:“那当 x = 10 时,边际成本是多少?”</p>

学子们很快算出答案:“45 。”</p>

戴浩文继续出题:“现在有一个矩形,其周长为 20 ,设长为 x ,面积为 y ,求面积最大时矩形的长和宽。”</p>

学子们开始分组讨论,教室里响起了热烈的讨论声。</p>

过了一会儿,一组代表发言:“先生,我们设宽为 10 - x ,面积 y = x(10 - x) ,然后求导找极值。”</p>

戴浩文鼓励道:“非常好,那咱们来求导看看。”</p>

一番计算后,得出导数为 10 - 2x ,令其等于 0 ,解得 x = 5 。</p>

戴浩文总结道:“所以当长和宽都为 5 时,面积最大。大家明白了吗?”</p>

学子们齐声回答:“明白了!”</p>

“那咱们再来看这道题。”戴浩文又写道:“已知某商品的需求函数为 q = 20 - 2p ,其中 q 为需求量,p 为价格。求价格为 5 时的需求弹性。”</p>

这次学子们思考的时间更长了,戴浩文在教室里走动,不时听听各个小组的讨论,给予一些指导。 终于,有学子算出了结果:“先生,是 -2\/3 。”</p>

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